Invers Matriks Menggunakan Metode Partisi

Operasi matriks memang sudah sama-sama kita pelajari di bangku SMA. Banyak sekali manfaat dari adanya matriks, salah satunya adalah untuk memudah penyelsaian persamaan simultan. Tipe matriks, Operasi penjumlahan, perkalian, transpose, determinan, kofaktor, adjoin dan proses invers matriks dibahas detail dengan contoh-contoh soal yang representatif.

Berikut adalah beberapa materi penting terkait perhitungan matriks dengan sumber “Modern Power System Control” oleh Prof. Dr. Ir. Imam Robandi, MT.

MENGINVERSE MATRIKS MENGGUNAKAN METODE PARTISI

Matriks sangat penting dalam penyelesaian Multi-Equation Multi-Variable (MEMV), berikut adalah contoh MEMV

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dengan komponenya yaitu matriks koefisien, matriks variabel dan matriks output sebagai berikut

Dari persamaan tersebut maka persamaan awal dapat dinyatakan dengan

Dengan hanya berbekal kemampuan menguasai invers matrix dengan dimensi 2x2, maka kita dapat melakukan invers matriks yang berdimensi mxn dengan sangat mudah. Motode partisi dapatmembantu perhitungan invers dari matriks-matriks yang berorder tinggi.

Matriks inversi A dinotasikan dengan A^-1 yang merupakan pembagian adjoin matriks A dengan determinannya, seperti berikut

Dari persamaan tersebut, maka diketahui bahwa dimensi matriks A sangat besar, maka perhitungan adjoin dan determinannya menjadi sangat rumit. Oleh karena itu, perlu pemecahan menggunakan metode partisi agar dimensi matriks menjadi lebih kecil.

Metode partisi adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menginverse matriks yang berdimensi besar. Sebuah matriks yang akan dicari inversnya dipartisi menjadi 4 matriks sebagai berikut:

Syarat utama dari proses partisi adalah matriks A₁ dan A₄harus bujur sangkar. Untuk memudahkan pengoperasian inversi dari matriks A yaitu A^-1 dapat ditulis sebagai berikut:

Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik.

Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol.
Pertukarkan dua persamaan tersebut.
Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya.

Karena baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar beresuaian dengan persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar.

Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama dengan nol.
Pertukarkanlah dua baris tersebut.
Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya.

Operasi-operasi ini dinamakan Operasi Baris Elementer (OBE).

Sifat-sifat matriks yang berbentukeselon baris (row-echelon form) daneselon baris tereduksi (reduced row-echelon form) :

Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan ini 1 utama).
Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan berama-sama dibawah matriks.
Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Dikatakan matriks berada dalam bentukeselon baris jika memiliki sifat 1, 2, dan 3. Prosedur untuk mereduksi menjadi eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan. Jika memiliki keempat sifat tersebut, maka matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris tereduksi dan prosedurnya disebutEliminasi Gauss.

Contoh 1 :

Carilah solusi dari persamaan dibawah ini dengan menggunakan OBE.

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Penyelesaian :

Ubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks yang diperbesar

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 2& 4& -3\\ 3& 6& -5 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ 1\\ 0\end {array}\right]$

kemudian gunakan OBE :

baris kedua : B₂+ (-2)B₁,
baris ketiga : B₃+ (-3)B₁,

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 2& -7\\ 0& 3& -11 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17\\ -27\end {array}\right]$
baris kedua : B₂x (1/2),
$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 1& -7/2\\ 0& 3& -11 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17/2\\ -27\end {array}\right]$
baris ketiga : B₃+ (-3)B₂,
$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 1& -7/2\\ 0& 0& -1/2 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17/2\\ -3/2\end {array}\right]$
baris ketiga : B₃x 2,
$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 1& -7/2\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17/2\\ 3\end {array}\right]$

pada matriks terakhir ini dinamakan matriks berada dalam bentuk eselon baris. Dari matriks eselon baris ini dapat ditulis kedalam bentuk persamaan yang bersesuaian dengan matriks tersebut.

x + y + 2z = 9

y – 7/2 z = -17/2

z = 3

sehingga dengan mensubstitusikan z = 3 kedalam persamaan kedua, diperoleh y – 7/2(3) = -17/2

$\Rightarrow$ y = 2. Setelah itu substisikan z dan y kepersamaan pertama, diperoleh x + 2 + 2(3) = 9

$\Rightarrow$ x = 1.

Jadi, solusi dari persamaan diatas adalah x = 1, y = 2 dan z = 3.

Kita juga bisa mencari solusi persamaan tersebut dengan cara mengubah matriks tersebut sampai dalam bentuk matriks eselon baris tereduksi, hasil akhirnya akan sama. Misal matriks eselon baris tersebut kita ubah kedalam eselon baris tereduksi.

baris kedua : B₂ + (-7/2)B₃,
baris pertama : B₁ + (-2B₃),

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 3\\ 2\\ 3\end {array}\right]$
baris pertama : B₁ – B₂,
$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 1\\ 2\\ 3\end {array}\right]$

Dari matriks eselon baris tereduksi diatas diperoleh x = 1, y = 2 dan z = 3.

Invers matriks menggunakan adjoint

Pada blog ini saya sudah menulis bagaimana mencari matriks dengan dua cara yang berbeda, yang pertama menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu dengan membentuk matriks augmentasinya kemudian dilakukan OBE dan cara yang kedua dengan memanfaatkan sifat

$AB = BA = I$ di mana

$B$ sebagai invers matriks

$A$ dan

$I$ matriks identitas, yang selanjutnya diselesaikan menggunakan eliminasi (baca di sini). Pada tulisan ini, saya mencoba memanfaatkan matriks adjoint. Apa itu matriks adjoint ? Matriks adjoint itu adalah transpose dari Matriks Kofaktor. Misal $latex A4 adalah suatu matriks yang memiliki invers, maka

$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)$

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks.

Contoh 1

Tentukan invers matriks dari

$A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}$ .

Karena

$A$ matriks

$3 \times 3$ , maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus.

$det(A) = 2(4)(4) + (-1)(5)(2) + 3(0)(1)-2(4)(3)-1(5)(2)-4(0)(-1)$

$= 32 -10 + 0-24-10-0$

$= -12$

Selanjutnya akan ditentukan

$Adj(A)$ , tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks

$A$ .

Kofaktor dari

$a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 4& 5\\ 1& 4 \end{vmatrix} = 4(4)-1(5) = 11$

Kofaktor dari

$a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0& 5\\ 2& 4 \end{vmatrix} = -1(0(4)-2(5)) = 10$

Kofaktor dari

$a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0& 4\\ 2& 1 \end{vmatrix} = 0(1)-2(4) = -8$

Kofaktor dari

$a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&3\\ 1&4 \end{vmatrix} = -1(-1(4)-1(3)) = 7$

Kofaktor dari

$a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 2&4 \end{vmatrix} = 2(4)-2(3)) = 2$

Kofaktor dari

$a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&-1\\ 2&1 \end{vmatrix} = -1(2(1)-2(-1)) = -4$

Kofaktor dari

$a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&3\\ 4&5 \end{vmatrix} = -1(5)-4(3) = -17$

Kofaktor dari

$a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&3\\ 0&5 \end{vmatrix} = -1(2(5)-0(3)) = -10$

Kofaktor dari

$a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 2&-1\\ 0&4 \end{vmatrix} = 2(5)-0(3) = 10$

Oleh karena itu, matriks kofaktor dari

$A$ adalah

$\begin{bmatrix} 11&10&-8\\ 7&2&0\\ -17&-10&10 \end{bmatrix}$ . Karena

$Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat

$Adj(A) = \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks

$A$ adalah

$A^{-1} = -\dfrac{1}{12} \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$

Operasi baris elementer (OBE) adalah operasi yang dilakukan terhadap semua elemen pada sebuah baris.

Operasi kolom elementer (OKE) adalah operasi yang dilakukan terhadap semua elemen pada sebuah baris.

Ada dua operasi dasar yaitu

1. penjumlahan atau pengurangan sebuah baris dengan baris lain

penjumlahan atau pengurangan sebuah kolom dengan kolom lain

2. Perkalian baris dengan bilangan real

Perkalian kolom dengan bilangan real

Sebagai contoh :

Tentukan hasil dari matriks

(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix})

oleh operasi

a. baris kedua dikurangi baris pertama

b. baris kedua dikalikan 4

c. baris pertama ditambah dua kali baris kedua

d. kolom pertama ditambah kolom kedua

e. kolom pertama dikalikan

- 3

f. kolom kedua dikurangi lima kali kolom pertama

Jawab

a.	Baris kedua dikurangi baris pertama $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{R_{2} - R_{1}}{} (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 3 & 1 \end{matrix})$
b.	Baris kedua dikalikan 4 $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{{4 R}_{2}}{} (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 8 & 16 \end{matrix})$
c.	Baris pertama ditambah dua kali baris kedua $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{R_{1} + {2 R}_{2}}{} (\begin{matrix} - 3 & 11 \\ - 2 & 4 \end{matrix})$
d.	Kolom pertama ditambah kolom kedua $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{C_{1} + C_{2}}{} (\begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix})$
e.	Kolom pertama dikalikan $- 3$ $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{{- 3 C}_{1}}{} (\begin{matrix} - 3 & 3 \\ 6 & 4 \end{matrix})$
f.	Kolom kedua dikurangi lima kali kolom pertama $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{C_{2} - 5 C_{1}}{} (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 14 \end{matrix})$

Matriks dan jenis-jenisnya

Senin, 15 Oktober 2018

Invers Matriks Menggunakan Metode Partisi

Senin, 08 Oktober 2018

Contoh 1

Jawab