Invers matriks menggunakan adjoint

Pada blog ini saya sudah menulis bagaimana mencari matriks dengan dua cara yang berbeda, yang pertama menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu dengan membentuk matriks augmentasinya kemudian dilakukan OBE dan cara yang kedua dengan memanfaatkan sifat

$AB = BA = I$ di mana

$B$ sebagai invers matriks

$A$ dan

$I$ matriks identitas, yang selanjutnya diselesaikan menggunakan eliminasi (baca di sini). Pada tulisan ini, saya mencoba memanfaatkan matriks adjoint. Apa itu matriks adjoint ? Matriks adjoint itu adalah transpose dari Matriks Kofaktor. Misal $latex A4 adalah suatu matriks yang memiliki invers, maka

$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)$

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks.

Contoh 1

Tentukan invers matriks dari

$A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}$ .

Karena

$A$ matriks

$3 \times 3$ , maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus.

$det(A) = 2(4)(4) + (-1)(5)(2) + 3(0)(1)-2(4)(3)-1(5)(2)-4(0)(-1)$

$= 32 -10 + 0-24-10-0$

$= -12$

Selanjutnya akan ditentukan

$Adj(A)$ , tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks

$A$ .

Kofaktor dari

$a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 4& 5\\ 1& 4 \end{vmatrix} = 4(4)-1(5) = 11$

Kofaktor dari

$a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0& 5\\ 2& 4 \end{vmatrix} = -1(0(4)-2(5)) = 10$

Kofaktor dari

$a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0& 4\\ 2& 1 \end{vmatrix} = 0(1)-2(4) = -8$

Kofaktor dari

$a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&3\\ 1&4 \end{vmatrix} = -1(-1(4)-1(3)) = 7$

Kofaktor dari

$a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 2&4 \end{vmatrix} = 2(4)-2(3)) = 2$

Kofaktor dari

$a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&-1\\ 2&1 \end{vmatrix} = -1(2(1)-2(-1)) = -4$

Kofaktor dari

$a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&3\\ 4&5 \end{vmatrix} = -1(5)-4(3) = -17$

Kofaktor dari

$a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&3\\ 0&5 \end{vmatrix} = -1(2(5)-0(3)) = -10$

Kofaktor dari

$a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 2&-1\\ 0&4 \end{vmatrix} = 2(5)-0(3) = 10$

Oleh karena itu, matriks kofaktor dari

$A$ adalah

$\begin{bmatrix} 11&10&-8\\ 7&2&0\\ -17&-10&10 \end{bmatrix}$ . Karena

$Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat

$Adj(A) = \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks

$A$ adalah

$A^{-1} = -\dfrac{1}{12} \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$

Operasi baris elementer (OBE) adalah operasi yang dilakukan terhadap semua elemen pada sebuah baris.

Operasi kolom elementer (OKE) adalah operasi yang dilakukan terhadap semua elemen pada sebuah baris.

Ada dua operasi dasar yaitu

1. penjumlahan atau pengurangan sebuah baris dengan baris lain

penjumlahan atau pengurangan sebuah kolom dengan kolom lain

2. Perkalian baris dengan bilangan real

Perkalian kolom dengan bilangan real

Sebagai contoh :

Tentukan hasil dari matriks

(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix})

oleh operasi

a. baris kedua dikurangi baris pertama

b. baris kedua dikalikan 4

c. baris pertama ditambah dua kali baris kedua

d. kolom pertama ditambah kolom kedua

e. kolom pertama dikalikan

- 3

f. kolom kedua dikurangi lima kali kolom pertama

Jawab

a.	Baris kedua dikurangi baris pertama $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{R_{2} - R_{1}}{} (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 3 & 1 \end{matrix})$
b.	Baris kedua dikalikan 4 $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{{4 R}_{2}}{} (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 8 & 16 \end{matrix})$
c.	Baris pertama ditambah dua kali baris kedua $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{R_{1} + {2 R}_{2}}{} (\begin{matrix} - 3 & 11 \\ - 2 & 4 \end{matrix})$
d.	Kolom pertama ditambah kolom kedua $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{C_{1} + C_{2}}{} (\begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix})$
e.	Kolom pertama dikalikan $- 3$ $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{{- 3 C}_{1}}{} (\begin{matrix} - 3 & 3 \\ 6 & 4 \end{matrix})$
f.	Kolom kedua dikurangi lima kali kolom pertama $(\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) \frac{C_{2} - 5 C_{1}}{} (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 14 \end{matrix})$

Matriks dan jenis-jenisnya

Senin, 08 Oktober 2018

Contoh 1

Jawab

Tidak ada komentar:

Posting Komentar